Question

（2013•和平區一模）若拋物線y²=2px上恒有關于直線x+y-1=0對稱的兩點A，B，則p的取值范圍是（　　）

• A．（-

  2

  3

  ，0）
• B．（0，

  3

  2

  ）
• C．（0，

  2

  3

  ）
• D．（-∞，0）∪（

  2

  3

  ，+∞）

Answer 1

分析：設出A，B兩點的坐標，因為A，B在拋物線上，把兩點的坐標代入拋物線方程，作差后求出AB中點的縱坐標，又AB的中點在直線x+y-1=0上，代入后求其橫坐標，然后由AB中點在拋物線內部列不等式求得實數p的取值范圍．

解答：解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
因為點A和B在拋物線上，所以有y12=2px1①
y22=2px2②
①-②得，y12-y22=2p(x1-x2)．
整理得

y1-y2

x1-x2

=

2p

y1+y2

，
因為A，B關于直線x+y-1=0對稱，所以k_AB=1，即

2p

y1+y2

=1．
所以y₁+y₂=2p．
設AB的中點為M（x₀，y₀），則y0=

y1+y2

2

=

2p

2

=p．
又M在直線x+y-1=0上，所以x₀=1-y₀=1-p．
則M（1-p，p）．
因為M在拋物線內部，所以y02-2px0＜0．
即p²-2p（1-p）＜0，解得0＜p＜

2

3

．
所以p的取值范圍是（0，

2

3

）．
故選C．

點評：本題考查了直線與圓錐曲線的位置關系，考查了點差法，是解決與弦中點有關問題的常用方法，解答的關鍵是由AB中點在拋物線內部得到關于p的不等式，是中檔題．