Question

在如圖所示的空間幾何體中，平面ACD⊥平面ABC，AB=BC=CA=DA=DC=BE=2，BE和平面ABC所成的角為60°，且點E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分線上．
（1）求證：DE∥平面ABC；
（2）求二面角E-BC-A的余弦；
（3）求多面體ABCDE的體積．

Answer 1

分析：（1）證明線面平行，需要證明直線平行面內的一條直線即可．
（2）利用三垂線定理作出二面角的平面角即可求解．
（3）求多面體ABCDE的體積，轉化兩個三棱錐的體積之和，分別求解．

解答：解：方法一：（1）由題意知，△ABC，△ACD都是邊長為2的等邊三角形，
取AC中點O，連接BO，DO，
則BO⊥AC，DO⊥AC∵平面ACD⊥平面ABC
∴DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，
那么EF∥DO，根據題意，點F落在BO上，
∴∠EBF=60°，易求得EF=DO=

3

所以四邊形DEFO是平行四邊形，DE∥OF；∵DE?平面ABC，OF?平面ABC，∴DE∥平面ABC
（2）作FG⊥BC，垂足為G，連接FG；
∵EF⊥平面ABC，根據三垂線定理可知，EG⊥BC，
∴∠EGF就是二面角E-BC-A的平面角，
∵FG-BF•sin∠FBG-

1

2

EF=

3

，
∴EG=

EF2-FG2

=

13

2

，
∴cos∠EGF=

FG

EG

=

13

13

即二面角E-BC-A的余弦值為

13

13

．
（3）∵平面ACD⊥平面ABC，OB⊥AC∴OB⊥平面ACD；
又∵DE∥OB∴DE⊥平面DAC，
∴三棱錐E-DAC的體積V1=

1

3

S△BAC•DE=

1

3

•

3

•(

3

-1)=

3- 3

3

，
又三棱錐E-ABC的體積V2=

1

3

S△ABC•EF=

1

3

•

3

•

3

=1，
∴多面體DE-ABC的體積為V=V₁+V₂=

6- 3

3

，
方法二：（1）同方法一
（2）建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz，
可求得平面ABC的一個法向量為

n1

(0，0，1)，
平面BCE的一個法向量為

n2

(-3，

3

，1)，
所以cos＜

n1

，

n2

＞

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

13

13

，
又由圖知，所求二面角的平面角是銳角，
所以二面角E-BC-A的余弦值為

13

13

．
（3）同方法一

點評：本題考查空間直線與平面之間的位置關系，線面平行，體積等知識，高考必考內容，考查空間想象能力和邏輯思維推理能力．