Question

在如圖所示的空間幾何體中，平面ACD⊥平面ABC，AB=BC=CA=DA=DC=BE=2，BE和平面ABC所成的角為60°，且點E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分線上．
（1）求證：DE∥平面ABC；
（2）求多面體ABCDE的體積．

Answer 1

分析：（1）取AC中點O，連接BO、DO，等邊三角形△ACD中，DO⊥AC，結合面面垂直的性質，得D0⊥平面ABC．再過E作EF⊥平面ABC，可以證出四邊形DEFO是平行四邊形，得DE∥OF，結合線面平行的判定定理，證出DE∥平面ABC；
（2）三棱錐E-DAC中，可得DE是平面DAC上的高，三棱錐E-ABC中，EF是平面ABC上的高．最后用錐體體積公式，將三棱錐E-DAC的體積加上三棱錐E-ABC的體積，即可得到多面體ABCDE的體積．

解答：解：（1）取AC中點O，連接BO、DO，
∵△ABC，△ACD都是邊長為2的等邊三角形，
∴BO⊥AC，DO⊥AC；
∵平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC=AC
∴DO⊥平面ABC，
過E作EF⊥平面ABC，那么EF∥DO，
根據題意，點F落在BO上，易求得EF=DO=

3

，
所以四邊形DEFO是平行四邊形，得DE∥OF，
∵DE?平面ABC，OF?平面ABC，∴DE∥平面ABC…（6分）
（2）∵平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC=AC，OB⊥AC，
∴OB⊥平面ACD；
又∵DE∥OB，∴DE⊥平面DAC，
∴三棱錐E-DAC的體積：V1=

1

3

S△BAC•DE=

1

3

•

3

•(

3

-1)=

3- 3

3

又∵三棱錐E-ABC的體積V2=

1

3

S△ABC•EF=

1

3

•

3

•

3

=1
∴多面體DE-ABC的體積為V=V₁+V₂=

6- 3

3

…（12分）

點評：本題給出兩個三棱錐拼接成多面體，求證線面平行并且求它的體積，著重考查了面面垂直的性質、線面平行的判定和錐體體積公式等知識，屬于中檔題．