Question

已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的部分圖象如圖所示．
（1）求函數f（x）的解析式，并寫出f（x）的單調減區間；
（2）記△ABC的內角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，若f（A）=1，cosB=

4

5

，a=5，求b．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,正弦定理

專題：三角函數的圖像與性質,解三角形

分析：（1）由函數圖象向左平移

π

12

得到函數f（x）=Asin（ωx+ϕ），（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜

π

2

）的部分圖象，由圖象最高點得A=1，由周期可求ω的值，根據特殊點可求ϕ的值，從而可得解析式f（x）=sin（2x+

π

3

），從而可求f（x）的單調減區間．
（2）先求范圍

π

3

＜2A+

π

3

＜

7π

3

，由2A+

π

3

=

π

2

，可求sinB的值，由正弦定理可求b的值．

解答： 解：（1）由函數圖象向左平移

π

12

得到函數f（x）=Asin（ωx+ϕ），（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜

π

2

）的部分圖象，由圖象最高點得A=1，
由周期

1

2

T=（

7π

12

+

π

12

）-（

π

12

+

π

12

）=

π

2

，T=π，∴ω=2．（2分）
當x=

π

12

時，f（x）=1，可得 sin（2•

π

12

+ϕ）=1，
∵|ϕ|＜

π

2

，∴ϕ=

π

3

．∴f（x）=sin（2x+

π

3

）．（4分）
由圖象可得f（x）的單調減區間為[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]，k∈Z．（6分）
（2）由（I）可知，sin（2A+

π

3

）=1，
∵0＜A＜π，∴

π

3

＜2A+

π

3

＜

7π

3

，∴2A+

π

3

=

π

2

，A=

π

12

．
∵0＜B＜π，∴sinB=

1+cos2B

=

3

5

．（9分）
由正弦定理得

a

sinA

=

b

sinB

⇒b=3（

6

+

2

）．（12分）

點評：本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，正弦定理的應用，屬于基本知識的考查．