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橢圓以雙曲線的實軸為短軸、虛軸為長軸，且與拋物線交于兩點.
（1）求橢圓的方程及線段的長；
（2）在與圖像的公共區(qū)域內，是否存在一點，使得的弦與的弦相互垂直平分于點？若存在，求點坐標，若不存在，說明理由.

（1），；（2）不存在這樣的點．

解析試題分析：（1）求橢圓的方程，只需求出即可，由雙曲線得，，故得橢圓，從而得橢圓的方程為，求線段的長，只需求出的坐標，由橢圓的方程，及拋物線的方程，聯(lián)立方程組解得，從而可得線段的長；（2）這是探索性命題，一般假設存在，可設出，代入橢圓的方程，兩式作差，得，設出，代入拋物線，兩式作差，得，的弦與的弦相互垂直得，，從而得到，由題設條件，來判斷點是否存．
試題解析：（1）橢圓：；聯(lián)立方程組解得，所以.
（2）假設存在，由題意將坐標帶入做差得，將坐標帶入得，，故滿足條件的點在拋物線外，所以不存在這樣的點.
考點：橢圓的方程，直線與二次曲線位置關系．

練習冊系列答案

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已知平面上的動點P（x，y）及兩個定點A（-2，0），B（2，0），直線PA，PB的斜率分別為K₁，K₂且K₁K₂=－
(1).求動點P的軌跡C方程；
(2).設直線L：y=kx+m與曲線C交于不同兩點，M，N，當OM⊥ON時，求O點到直線L的距離（O為坐標原點）

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(1)求橢圓的標準方程；
(2)設P是橢圓上異于A、B的任意一點，PQ⊥y軸，Q為垂足，M為線段PQ中點，直線AM交直線l于點C，N為線段BC的中點，求證：OM⊥MN．

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給定橢圓：，稱圓心在原點，半徑為的圓是橢圓的“準圓”.若橢圓的一個焦點為，其短軸上的一個端點到的距離為.

（1）求橢圓的方程和其“準圓”方程；
（2）點是橢圓的“準圓”上的動點，過點作橢圓的切線交“準圓”于點.
（ⅰ）當點為“準圓”與軸正半軸的交點時，求直線的方程并證明；
（ⅱ）求證：線段的長為定值.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓:的離心率為，過橢圓右焦點的直線與橢圓交于點（點在第一象限）.
（1）求橢圓的方程；
（2）已知為橢圓的左頂點，平行于的直線與橢圓相交于兩點.判斷直線是否關于直線對稱，并說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知拋物線．
(1)若圓心在拋物線上的動圓，大小隨位置而變化，但總是與直線相切，求所有的圓都經過的定點坐標；
(2)拋物線的焦點為,若過點的直線與拋物線相交于兩點,若,求直線的斜率；
(3)若過正半軸上點的直線與該拋物線交于兩點,為拋物線上異于的任意一點,記連線的斜率為試求滿足成等差數列的充要條件．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，橢圓E：＝1(a＞b＞0)的左焦點為F₁，右焦點為F₂，離心率e＝.過F₁的直線交橢圓于A、B兩點，且△ABF₂的周長為8.

(1)求橢圓E的方程；
(2)設動直線l：y＝kx＋m與橢圓E有且只有一個公共點P，且與直線x＝4相交于點Q.試探究：在坐標平面內是否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由．