Question

已知函數f(x)=sin2

π

4

x-

3

sin

π

4

xcos

π

4

x
（1）求f（x）的最大值及此時x的值；
（2）求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）+f（2011）的值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角余弦公式將三角函數的平方降冪，利用公式asinx+bcosx=

a2+b2

sin(x+θ)化簡三角函數，利用三角函數的有界性求出最值．
（2）利用周期公式求出函數的周期，求出要求式子共有的周期數，求出一個周期內包含的函數值的和，再求出所有函數值的和

解答：解：（1）f(x)=

1

2

-

1

2

cos

π

2

x-

3

2

sin

π

2

x=

1

2

-sin(

π

2

x+

π

6

)
∴x=4k-

4

3

(k∈z)時，f(x)max=

3

2

（2）函數的周期T=4，f(1)=

1

2

-

3

2

，f(2)=

1

2

+

1

2

，f(3)=

1

2

+

3

2

，f(4)=

1

2

-

1

2

，f(4k+1)=

1

2

-

3

2

，f(4k+2)=

1

2

+

1

2

，f(4k+3)=

1

2

+

3

2

，f(4k+4)=

1

2

-

1

2

f（4k+1）+f（4k+2）+f（4k+3）+f（4k+4）=2f（1）+f（2）++f（2011）=502×2+f（1）+f（2）+f（3）=1006

點評：本題考查三角函數的二倍角公式、公式asinx+bcosx=

a2+b2

sin(x+θ)、三角函數的周期公式并利用周期求函數值的和．