Question

已知f(x)=2ax-+lnx在x=-1,x=處取得極值.

(1)求a、b的值；

(2)若對x∈［,4］時，f(x)＞c恒成立，求c的取值范圍.

Answer 1

解:(1)∵f(x)=2ax-+lnx,

    ∴f′(x)=2a++.

    ∵f(x)在x=-1與x=處取得極值，

    ∴f′(-1)=0,f′()=0,

    即解得

    ∴所求a、b的值分別為1、-1.

    (2)由(1)得f′(x)=2-+=(2x²+x-1)=(2x-1)(x+1).

    ∴當x∈［,］時，f′(x)＜0；當x∈［,4］時，f′(x)＞0.

    ∴f()是f(x)在［,4］上的極小值.

    又∵只有一個極小值，

    ∴f(x)_min=f()=3-ln2.

    ∵f(x)＞c恒成立，

    ∴c＜f(x)_min=3-ln2.

    ∴c的取值范圍為c＜3-ln2.