Question

已知f(x)=2ax-

b

x

+lnx在x=1與x=

1

2

處都取得極值．
（1）求a，b的值；
（2）若對x∈[

1

4

，1]時，f（x）＜c恒成立，求實數c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x），由題意可得f'（1）=0，f′(

1

2

)=0．解此方程組即得a，b值；
（2）對x∈[

1

4

，1]時，f（x）＜c恒成立，等價于f（x）_max＜c，利用導數即可求得f（x）的最大值；

解答：解：（1）∵f(x)=2ax-

b

x

+lnx，∴f′(x)=2a+

b

x2

+

1

x

，
∵f(x)=2ax-

b

x

+lnx在x=1與x=

1

2

處都取得極值，
∴f'（1）=0，f′(

1

2

)=0．∴

2a+b+1=0 2a+4b+2=0

，解得a=b=-

1

3

；
（2）由（1）可知f(x)=-

2

3

x+

1

3x

+lnx，
令f′(x)=-

2

3

-

1

3x2

+

1

x

=-

(2x-1)(x-1)

3x2

=0，解得x=1或x=

1

2

，
∵x∈[

1

4

，1]，∴f（x）在[

1

4

，

1

2

]上單調遞減，在[

1

2

，1]上單調遞增．
f(

1

4

)=

7

6

-ln4，f(1)=-

1

3

，而f（

1

4

）-f（1）=（

7

6

-ln4）-（-

1

3

）=

3

2

-ln4＞0，
所以f（

1

4

）＞f（1），即f（x）在[

1

4

，1]上的最大值為

7

6

-ln4．
對x∈[

1

4

，1]時，f（x）＜c恒成立，等價于f（x）_max＜c，即

7

6

-ln4＜c，
所以實數c的取值范圍為c＞

7

6

-ln4．

點評：本題考查利用導數求函數的最值、函數在某點取得極值的條件，考查函數恒成立問題，轉化為求函數最值是解決函數恒成立問題的常用方法．