Question

（2012•廣州二模）已知函數(shù)f(x)=lnx-

1

2

ax2+x，a∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f（x）的極值大于0？若存在，求a的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=lnx-

1

2

ax²+x，可求得f′（x）=

-ax2+x+1

x

，然后對(duì)a分a=0，a＞0，與a＜0分類(lèi)討論，利用f′（x）＞0，與f′（x）＜0可得其遞增區(qū)間與遞減區(qū)間；
（2）由（1）可知，當(dāng)a＞0，函數(shù)取到極大值，此時(shí)f（x）=0有兩個(gè)不等的根，即lnx=

1

2

ax2-x有兩個(gè)不等的根構(gòu)造函數(shù)y=lnx與y=

1

2

ax2-x，則兩個(gè)圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，從而可求a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=lnx-

1

2

ax²+x，a∈R，∴f′（x）=

1

x

-ax+1=

-ax2+x+1

x

（x＞0），
∴當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＜0時(shí)，由于x＞0，故-ax²＞0，于是-ax²+x+1＞0，
∴f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）＞0得，0＜x＜

1+ 1+4a

2a

，即f（x）在（0，

1+ 1+4a

2a

）上單調(diào)遞增；
由f′（x）＜0得，x＞

1+ 1+4a

2a

，即f（x）在（

1+ 1+4a

2a

，+∞）上單調(diào)遞減；
（2）由（1）可知，當(dāng)a＞0，x=

1+ 1+4a

2a

時(shí)函數(shù)取到極大值，此時(shí)
∵x→0，f（x）＜0，x→+∞，f（x）＜0
∴f（x）=0有兩個(gè)不等的根
即f(x)=lnx-

1

2

ax2+x=0有兩個(gè)不等的根
即lnx=

1

2

ax2-x有兩個(gè)不等的根
構(gòu)造函數(shù)y=lnx與y=

1

2

ax2-x，則兩個(gè)圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)
∵y=lnx過(guò)（1，0），y=

1

2

ax2-x的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=

1

a

，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(

1

a

，-

1

2a

)
∴

1

a

＞

1

2

，解得a＜2
∴0＜a＜2

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，突出分類(lèi)討論思想與轉(zhuǎn)化思想的滲透與應(yīng)用，屬于難題，第二題把有正的極大值的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖象開(kāi)口向下與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)，思路巧妙，學(xué)習(xí)中值得借鑒．