Question

(1)如下圖所示，在正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，M∈AD₁，N∈BD，且D₁M＝DN，求證：MN∥平面CC₁D₁D

(2)在本題中，若M、N分別是AD₁、BD的中點，求證：MN∥平面CC₁D₁D

Answer 1

答案：
解析：

　　(1)證法一：連結AN并延長，交直線CD于E，連結D₁E．

　　∵AB∥CD，∴．

　　∵BD＝AD₁，且D₁M＝DN，∴．

　　在△AD₁E中，MN∥D₁E．

　　又MN平面CC₁D₁D，D₁E平面CC₁D₁D，

　　∴MN∥平面CC₁D₁D．

　　證法二：過點M作MP∥AD，交DD₁于P，過點N作NQ∥AD交CD于點Q，連結PQ，

　　則MP∥NQ，在△D₁AD中，．

　　∵NQ∥AD，AD∥BC，∴NQ∥BC．

　　在△DBC中，．

　　∵D₁M＝DN，D₁A＝DB，AD＝BC，∴NQ＝MP．

　　∴四邊形MNQP為平行四邊形，則MN∥PQ．

　　而MN平面CC₁D₁D，PQ平面CC₁D₁D，

　　∴MN∥平面CC₁D₁D

　　(2)證明：∵N是BD的中點，∴N也是AC的中點．

　　又∵M是AD₁的中點，

　　∴MN是△ACD₁的中位線．

　　∴MN∥D₁C．

　　又∵MN平面CC₁D₁D，D₁C平面CC₁D₁D，

　　∴MN∥平面CC₁D₁D

　　思路分析：(1)本題考查直線與平面平行的判定方法．要證明MN∥平面CC₁D₁D，根據直線和平面平行的判定定理，只需要在平面CC₁D₁D內找一條與MN平行的直線即可，而此直線的作法多種多樣，下面給出兩種證明方法．

提示：

從本題中我們可以看出，證線面平行的根本問題是要在平面內找一條直線與已知直線平行，此時常用中位線定理、成比例線段、平行移動、補形等方法，具體用何種方法要視條件而定．