Question

在三棱錐中，，.

   （Ⅰ）證明：⊥；

   （Ⅱ）求二面角A-BC-S的大小；

   （Ⅲ）求直線AB與平面SBC所成角的正弦值.

Answer 1

解：（Ⅰ）且平面.     

為在平面內的射影.                                               

又⊥, ∴⊥.  

（Ⅱ） 由（Ⅰ）⊥，又⊥，

∴為所求二面角的平面角.    

又∵==4,

∴=4 .  ∵=2 , ∴=60°.

即二面角大小為60°.

（Ⅲ）過作于D，連結,            

由（Ⅱ）得平面平面,又平面,

∴平面平面,且平面平面,

∴平面.

∴為在平面內的射影.

.

在中，，

在中，，.

∴ =.           

所以直線與平面所成角的大小為.       

解法二：解：（Ⅰ）由已知，

以點為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.     

則 ,.    

則，.

.     

.      

   （Ⅱ），平面.

是平面的法向量.  

設側面的法向量為,

,.

,

      .令則.

則得平面的一個法向量. 

.       

即二面角大小為60°.  

（Ⅲ）由（II）可知是平面的一個法向量.  

又， .                  

所以直線與平面所成角為。