Question

已知函數f（x）=2a（cos²x+sinxcosx）+b．
（1）當a=1時，求f（x）的單調遞增區間；
（2）若a≠0，且x∈[0，

π

2

]時，f（x）的最大值為4，最小值為3，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）a=1，利用二倍角公式、兩角和的正弦函數化簡函數的表達式，通過正弦函數的單調增區間求出函數的單調增區間．
（2）利用二倍角公式、兩角和的正弦函數化簡函數的表達式為一個角的一個三角函數的形式，根據最大值、最小值列出方程，求出a，b的值．

解答：解：（1）f（x）=2cos²x+2sinxcosx+b=cos2x+1+sin2x+b=

2

sin(2x+

π

4

)+1+b（3分）
當f（x）遞增時，有2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)，
即：x∈[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

](k∈Z)（6分）
（2）f(x)=a(2cos2x+2sinxcosx)+b=a(cos2x+1+sin2x)+b=

2

asin(2x+

π

4

)+a+b∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

4

∈[

π

4

，

5

4

π]∴sin(2x+

π

4

)∈[-

2

2

，1]（9分）
故當a＞0時，

2 a+a+b=4 -a+a+b=3

，∴

a= 2 -1 b=3

；（11分）
當a＜0時，

2 a+a+b=3 -a+a+b=4

，∴

a=1- 2 b=4

．（13分）

點評：本題是中檔題，考查三角函數的化簡求值，最值的應用，單調性的應用，考查計算能力，常考題型．