Question

【題目】已知等差數列{an}的前n項和為Sn ， 且a3=5，S15=225．數列{bn}是等比數列，b3=a2+a3 ， b2b5=128（其中n=1，2，3，…）． （Ⅰ）求數列{an}和{bn}的通項公式；
（Ⅱ）記cn=anbn ， 求數列cn前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（I）公差為d， 則 ，
∴ 故an=2n﹣1（n=1，2，3，…）．
設等比數列bn的公比為q，則 ，∴b3=8，q=2
∴bn=b3qn﹣3=2n（n=1，2，3，…）．
（II）∵cn=（2n﹣1）2n∵Tn=2+322+523+…+（2n﹣1）2n
2Tn=22+323+524+…+（2n﹣3）2n+（2n﹣1）2n+1
作差：﹣Tn=2+23+24+25+…+2n+1﹣（2n﹣1）2n+1
=
=2+23（2n﹣1﹣1）﹣（2n﹣1）2n+1=2+2n+2﹣8﹣2n+2n+2n+1=﹣6﹣2n+1（2n﹣3）
∴TN=（2n﹣3）2n+1+6（n=1，2，3，…）
【解析】（I）在數列{an}中，把已知條件用首項a1 ， 公差d表示，聯立方程可求a1和d；在數列{bn}中，用b1和公比q把已知表示，求出b1和公比q（II）由（I）可知cn=（2n﹣1）2n ， 利用錯位相減求出數列的和
【考點精析】利用數列的前n項和對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知數列{an}的前n項和sn與通項an的關系．