Question

如圖，△ABC是斜邊為2的等腰直角三角形，點M，N分別為AB、AC上的點，過M、N的直線l將該三角形分成周長相等的兩部分．
（1）問AM+AN是否為定值？請說明理由．
（2）如何設計，方能使四邊形BMNC的面積最小？

Answer 1

分析：（1）先求出腰長，然后根據過MN的直線將該三角形分成周長相等的兩個部分可求出AM+AN的值；
（2）當△AMN面積最大時，四邊形BMNC面積最小，利用二次函數的性質求出S_△AMN有最大值，從而求出何時四邊形BMNC面積最小．

解答：解：（1）△ABC是斜邊為2的等腰直角三角形
∴AB=AC=

BC

2

=

2

∵M N分別為AB AC 上的點，過MN的直線將該三角形分成周長相等的兩個部分
∴AM+AN+MN=MB+BC+NC+MN
∴AM+AN=MB+BC+NC
又（AM+AN）+（MB+BC+NC）=AM+MB+BC+AN+NC=AB+BC+AC=2+2

2

∴AM+AN=MB+BC+NC=

2

+1
∴AM+AN為定值
（2）當△AMN面積最大時，四邊形BMNC面積最小
AM+AN=

2

+1
令AM=x，則AN=

2

+1-x
S_△AMN=

1

2

AM×AN=

1

2

x（

2

+1-x）=-

1

2

[x²-（

2

+1）x]
當x=

2 +1

2

時，S_△AMN有最大值，四邊形BMNC面積最小
即當AM=AN=

2 +1

2

時，四邊形BMNC面積最小

點評：本題主要考查了二次函數的最值，同時考查了計算能力和分析能力，以及轉化的思想，屬于中檔題．