Question

已知函數f（x）=

1

3

x³-ax²+2x．
（1）討論f（x）的單調區間；
（2）若f（x）在x∈[1，+∞）上是增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對函數求導數，得f'（x）=x²-2ax+2，計算出根的判別式△=4a²-8，然后根據-

2

≤a≤

2

時和a≤-

2

或a≥

2

時兩種情況加以討論，得到導數在各個區間上的正負，即可得到f（x）在各種情況下的單調區間；
（2）由（1）可得當-

2

≤a≤

2

時，顯然滿足條件f（x）在[1，+∞）上是增函數；當a≤-

2

或a≥

2

時，解不等式a+

a2-2

≤1，可得a≤-

2

．由此即可得到符合題意的實數a的取值范圍．

解答：解：∵函數f（x）=

1

3

x³-ax²+2x，
∴f'（x）=x²-2ax+2
①當4a²-8≤0時，即-

2

≤a≤

2

時，f'（x）≥0恒成立，可得f（x）在R上是增函數，
②當a≤-

2

或a≥

2

時，f'（x）=0的根是x₁=a-

a2-2

，x₂=a+

a2-2

，
∵當x＜a-

a2-2

或x＞a+

a2-2

時，f'（x）＞0；當a-

a2-2

＜x＜a+

a2-2

時，f'（x）＜0
∴函數f（x）的增區間是（-∞，a-

a2-2

）和（a+

a2-2

，+∞）；減區間是（a-

a2-2

，a+

a2-2

）；
（2）由（1）可得
①當-

2

≤a≤

2

時，f（x）在[1，+∞）上是增函數，符合題意；
②當a≤-

2

或a≥

2

時，由f（x）在[1，+∞）上是增函數，可得a+

a2-2

≤1，解之得a≤-

2

．
綜上所述，可得實數a的取值范圍是（-∞，

2

]．

點評：本題給出三次多項式函數，求函數的單調區間并討論在區間[1，+∞）上是增函數的問題．著重考查了利用導數研究函數的單調性和含有字母的二次式的討論等知識，屬于中檔題．