Question

某學生在上學路上要經過4個路口，假設在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，遇到紅燈的概率都是

1

3

，遇到紅燈時停留的時間都是2min．
（Ⅰ）求這名學生在上學路上到第三個路口時首次遇到紅燈的概率；
（Ⅱ）求這名學生在上學路上因遇到紅燈停留的總時間ξ的分布列及期望．

Answer 1

分析：（1）由題意知在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，所以這名學生在第一和第二個路口沒有遇到紅燈，在第三個路口遇到紅燈是相互獨立事件同時發生的概率，根據公式得到結果．
（2）由題意知變量的可能取值，根據所給的條件可知本題符合獨立重復試驗，根據獨立重復試驗公式得到變量的分布列，算出期望．

解答：解：（Ⅰ）設這名學生在上學路上到第三個路口時首次遇到紅燈為事件A，
∵事件A等于事件“這名學生在第一和第二個路口沒有遇到紅燈，在第三個路口遇到紅燈”，
∴事件A的概率為P(A)=(1-

1

3

)×(1-

1

3

)×

1

3

=

4

27

（Ⅱ）由題意可得ξ可能取的值為0，2，4，6，8（單位：min）
事件“ξ=2k”等價于事件“該學生在路上遇到k次紅燈”（k=0，1，2，3，4），
∴P(ξ=2k)=

C

k 4

(

1

3

)k(

2

3

)4-k(k=0，1，2，3，4)，
∴即ξ的分布列是

∴ξ的期望是Eξ=0×

16

81

+2×

32

81

+4×

8

27

+6×

8

81

+8×

1

81

=

8

3

點評：考查運用概率知識解決實際問題的能力，相互獨立事件是指，兩事件發生的概率互不影響，而對立事件是指同一次試驗中，不會同時發生的事件，遇到求用至少來表述的事件的概率時，往往先求它的對立事件的概率．