Question

已知O為坐標原點，

OP

=(x，y)，

OA

=(a，0)，

OB

=（0，a），

OC

=(3，4)，記|

PA

|、|

PB

|、|

PC

|中的最大值為M，當a取遍一切實數時，M的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：由已知中

OP

=(x，y)，

OA

=(a，0)，

OB

=（0，a），

OC

=(3，4)，我們記|

PA

|、|

PB

|、|

PC

|中的最大值為M，若a=0（A，B，O三點重合）時，則當P落在OC的中點上時，M取最小值；若a=7（A，B，C三點共線）時，則當P落在AB的中點上時，M取最小值；其它情況下，M落在△ABC的外心上時，M取最小值．三種情況下M均無最大值，故分類討論出M的最小值，即可得到答案．

解答：解：∵

OP

=(x，y)，

OA

=(a，0)，

OB

=（0，a），

OC

=(3，4)
當a=0時，M≥

5

2

當a=7時，（A，B，C三點共線）時，則當P落在AB的中點上時，M取最小值，M≥

7 2

2

當a≠0，且a≠7時，當P落在△ABC的外心Q上時，且Q最小時，M有最小值
∵Q所在的直線與AB垂直，故Q落在直線y=x上
若PA²≥PB²，則y≥x；
當y≥x時M²=max{PA²，PC²}
∵到點C的距離等于到x軸的距離的點的軌跡是拋物線：（x-3）²=8（y-2），
交直線y=x于P（7-2

6

，7-2

6

），
∴M_min=7-2

6

，∴當a=2時，M取最小值7-2

6

，
故M的取值范圍是[7-2

6

，+∞)
故答案為：[7-2

6

，+∞)

點評：本題考查的知識點是兩向量的和或差的模的最值，其中分類討論出M的最小值，是解答本題的關鍵點，同時也是難點．