Question

（2011•沈陽二模）已知O為坐標原點，點M的坐標為（a，1）（a＞0），點N（x，y）的坐標x、y滿足不等式組

x+2y-3≤0 x+3y-3≥0 y≤1

．若當且僅當

x=3 y=0

時，

OM

•

ON

取得最大值，則a的取值范圍是（　　）

• A．（0，

  1

  3

  ）
• B．（

  1

  3

  ，+∞）
• C．（0，

  1

  2

  ）
• D．（

  1

  2

  ，+∞）

Answer 1

分析：先根據約束條件畫出可行域，由于

OM

•

ON

=（a，1）•（x，y）=ax+y，設z=ax+y，再利用z的幾何意義求最值，只需求出直線z=ax+y過可行域內的點（3，0）時，z最大，求出取值a的取值范圍即可．

解答：解：先根據約束條件畫出可行域，
則

OM

•

ON

=（a，1）•（x，y）=ax+y，
設z=ax+y，
畫出可行域如圖所示，
其中B（3，0），C（1，1），D（0，1），
若目標函數z=ax+y僅在點（3，0）取得最大值，
必滿足Z_B＞Z_C，Z_B＞Z_D時取得，故有
3a＞a+1且3a＞1，
解得a＞

1

2

故選D

點評：本題主要考查了用平面區域二元一次不等式組，以及簡單的轉化思想和數形結合的思想，屬中檔題．巧妙識別目標函數的幾何意義是我們研究規劃問題的基礎，縱觀目標函數包括線性的與非線性，非線性問題的介入是線性規劃問題的拓展與延伸，使得規劃問題得以深化．