Question

如圖，圓臺上底半徑為1，下底半徑為4，母線AB=18；從AB的中點M拉一條繩子繞圓臺側面轉到點A，則繩子的最短長度為

21

當繩子最短時，上底圓周上的點到繩子的最短距離為

60 3

7

-6

．

Answer 1

分析：由題意需要畫出圓臺的側面展開圖，并還原成圓錐展開的扇形，則所求的最短距離是平面圖形兩點連線，根據條件求出扇形的圓心角以及半徑長，在求出最短的距離；取MB′的中點E，連接OE，交圓臺上底展開圖于F，則EF為所求．

解答：解：畫出圓臺的側面展開圖并還原成圓錐展開的扇形，且設扇形的圓心為O．
根據兩點之間線段最短，可得所求的最短距離是MB'，
設OA=R，圓心角是α，則
∵圓臺上底半徑為1，下底半徑為4，母線AB=18
∴2π=αR  ①，8π=α（18+R）  ②，
由①②解得，α=

π

3

，R=6，
∴OM=15，OB'=24，
∴由余弦定理可得MB′²=15²+24²-2×15×24×cos

π

3

=441
∴MB′=21．
取MB′的中點E，連接OE，交圓臺上底展開圖于F，則EF為所求
∴cos∠OMB′=

152+10．52-OE2

2×15×10.5

=

152+212-242

2×15×21

∴OE=

60 3

7

∴EF=

60 3

7

-6
故答案為：21，

60 3

7

-6．

點評：本題考查在幾何體表面的最短距離，一般方法是把幾何體的側面展開后，根據題意作出最短距離即兩點連線，結合條件求出，考查了轉化思想．