Question

已知定義在R上的函數f（x）=x²（ax-3），若函數g（x）=f（x）+f′（x），x∈[0，2]，在x=0處取得最大值，則正數a的范圍    ．

Answer 1

【答案】分析：先對函數f（x）進行求導表示出函數g（x），然后對函數g（x）求導，令導函數等于0求出x，確定極值點，最后求出端點值和極點值比較大小即可得到答案．
解答：解：∵f（x）=x²（ax-3）=ax³-3x²，∴f'（x）=3ax²-6x，
∴g（x）=f（x）+f′（x）=ax³+（3a-3）x²-6x
∴g'（x）=f'（x）=3ax²+6（a-1）x-6，
令g'（x）=0，方程的另個根為x_1，2=，因為a是正數，所以＜0，
即＜0，＞0
又g（0）=0，g（2）=20a-24，
當0＜≤2時，，由于g（x）在區間[0，2]先減后增，
當g（0）=0≥g（2）=20a-24時，a≤
∴≤a≤
當＞2即a＜時，由于g（x）在區間[0，2]減，
顯然有g（0）=0＞g（2）=20a-24成立，解得a＜
∴a＜
綜上所述，
故答案為：
點評：本題主要考查函數的求導運算、函數在閉區間上的最值．導數是由高等數學下放到高中的內容，是高中新增的內容，每年必考，要引起重視．