Question

已知曲線C的極坐標方程是ρ=2，以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線l的參數方程為

x=1+t y=2+ 3 t

（t為參數）．
（Ⅰ）寫出直線l的普通方程與曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）設曲線C經過伸縮變換

x′=x y′= 1 2 y

得到曲線C'，設M（x，y）為曲線C′上任一點，求x2-

3

xy+2y2的最小值，并求相應點M的坐標．

Answer 1

分析：（1）直接消去參數t得直線l的普通方程，根據ρ²=x²+y²可得曲線C的直角坐標方程；
（2）先根據伸縮變換得到曲線C′的方程，然后設M（2cosθ，sinθ），則x=2cosθ，y=sinθ代入x2-

3

xy+2y2，根據三角函數的性質可求出所求．

解答：解：（1）∵直線l的參數方程為

x=1+t y=2+ 3 t

（t為參數），
∴消去參數t得直線l的普通方程為

3

x-y-

3

+2=0，
∵ρ=2，
∴曲線C的直角坐標方程為x²+y²=4；
（2）∵曲線C：x²+y²=4經過伸縮變換

x′=x y′= 1 2 y

得到曲線C'，
∴C′：

x2

4

+y2=1，
設M（2cosθ，sinθ）則x=2cosθ，y=sinθ，
∴x2-

3

xy+2y2=3+2cos(2θ+

π

3

)，
∴當θ=

π

3

+kπ，k∈Z時，即M為（1，

3

2

）或(-1，-

3

2

)時x2-

3

xy+2y2的最小值為1．

點評：本題主要考查了極坐標方程，參數方程化直角坐標方程，以及橢圓的參數方程在求最值上的應用和三角函數求出最值，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．