Question

已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中左視圖是邊長為2的正三角形，主視圖是矩
形，且AA₁=3，設D為AA₁的中點．
（1）作出該幾何體的直觀圖并求其體積；
（2）求證：平面BB₁C₁C⊥平面BDC₁；
（3）BC邊上是否存在點P，使AP∥平面BDC₁？若不存在，說明理由；若存在，證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）由已知中的三視圖有兩個矩形一個三角形，可得該幾何體是一個以左視圖所示的三角形為底面的正三棱柱，根據左視圖是邊長為2，AA₁=3，我們分別確定出棱柱的底面面積和高，代入棱柱體積公式，即可得到答案．
（2）連接B₁C交BC₁于E點，則E為B₁C，BC₁的中點，連接DE，利用全等三角形對應邊相等可得BD=DC₁，又由D為AA₁的中點，可得DE⊥BC₁，結合 DE⊥B₁C和線面垂直的判定定理可得DE⊥平面BB₁C₁C，再由面面垂直的判定定理，即可證得平面BDC₁⊥平面BB₁C₁C
（3）取BC的中點P，連接AP，由（2）中結論及正三棱柱的幾何特征，我們可證得四邊形APED為平行四邊形，進而AP∥DE，再由線面平行的判定定理，即可得到答案．

解答：解：（1）由題意可知該幾何體為直三棱柱，它的直觀圖如圖所示：
∵幾何體的底面積S=

3

，高h=3
∴所求幾何體的體積V=Sh=3

3

，
證明：（2）連接B₁C交BC₁于E點，則E為B₁C，BC₁的中點，連接DE
∵AD=A₁D，AB=A₁C₁，∠BAD=∠DA₁C₁=90°
∴△ABD≌△DA₁C₁，
∴BD=DC₁，
∴DE⊥BC₁，
又∵B₁C∩BC₁=E，
∴DE⊥平面BB₁C₁C
又∵DE?平面BDC₁，
∴平面BDC₁⊥平面BB₁C₁C
解：（3）取BC的中點P，連接AP，則AP∥BDC₁，
∴四邊形APED為平行四邊形
∴AP∥DE，
又∵DE?BDC₁，AP?BDC₁，
∴AP∥BDC₁．

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，由三視圖求體積，直線與平面平行的判定，其中根據已知中的三視圖判斷出幾何體的形狀，進而根據正三棱柱的幾何特征，得到其中的線面關系是解答本題的關鍵．