Question

設函數，其中a為實數．
（1）已知函數f（x）在x=1處取得極值，求a的值；
（2）已知不等式f′（x）＞x²-x-a+1對任意a∈（0，+∞）都成立，求實數x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出f′（x），因為函數在x=1時取極值，得到f′（1）=0，代入求出a值即可；
（2）把f（x）的解析式代入到不等式中，化簡得到，因為a＞0，不等式恒成立即要，求出x的解集即可．
解答：解：（1）f′（x）=ax²-3x+（a+1）
由于函數f（x）在x=1時取得極值，
所以f′（1）=0
即a-3+a+1=0，∴a=1
（2）由題設知：ax²-3x+（a+1）＞x²-x-a+1
對任意a∈（0，+∞）都成立
即a（x²+2）-x²-2x＞0
對任意a∈（0，+∞）都成立
于是對任意a∈（0，+∞）都成立，
即∴-2≤x≤0
于是x的取值范圍是{x|-2≤x≤0}．
點評：考查學生會利用導數研究函數的極值，掌握不等式恒成立時所取的條件．以及會求一元二次不等式的解集．做題時學生應掌握轉化的方法變形．