Question

設(shè)函數(shù)，其中a為實(shí)數(shù)．
（1）已知函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，求a的值；
（2）已知不等式f′（x）＞x²-x-a+1對(duì)任意a∈（0，+∞）都成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出f′（x），因?yàn)楹瘮?shù)在x=1時(shí)取極值，得到f′（1）=0，代入求出a值即可；
（2）把f（x）的解析式代入到不等式中，化簡(jiǎn)得到，因?yàn)閍＞0，不等式恒成立即要，求出x的解集即可．
解答：解：（1）f′（x）=ax²-3x+（a+1）
由于函數(shù)f（x）在x=1時(shí)取得極值，
所以f′（1）=0
即a-3+a+1=0，∴a=1
（2）由題設(shè)知：ax²-3x+（a+1）＞x²-x-a+1
對(duì)任意a∈（0，+∞）都成立
即a（x²+2）-x²-2x＞0
對(duì)任意a∈（0，+∞）都成立
于是對(duì)任意a∈（0，+∞）都成立，
即∴-2≤x≤0
于是x的取值范圍是{x|-2≤x≤0}．
點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，掌握不等式恒成立時(shí)所取的條件．以及會(huì)求一元二次不等式的解集．做題時(shí)學(xué)生應(yīng)掌握轉(zhuǎn)化的方法變形．