Question

【題目】設D是函數y=f（x）定義域內的一個區間，若存在x0∈D，使f（x0）=﹣x0 ， 則稱x0是f（x）的一個“次不動點”，也稱f（x）在區間D上存在次不動點．若函數f（x）=ax2﹣3x﹣a+ 在區間[1，4]上存在次不動點，則實數a的取值范圍是（ ）
A.（﹣∞，0）
B.（0， ）
C.[ ，+∞）
D.（﹣∞， ]

Answer 1

【答案】D
【解析】解：依題意，存在x∈[1，4]， 使F（x）=f（x）+x=ax2﹣2x﹣a+ =0，
當x=1時，使F（1）= ≠0；
當x≠1時，解得a= ，
∴a′= =0，
得x=2或x= ，（ ＜1，舍去），

x	（1，2）	2	（2，4）
a′	+	0	﹣
a	↗	最大值	↘

∴當x=2時，a最大= = ，
所以常數a的取值范圍是（﹣∞， ]，
故選：D．
根據“f（x）在區間D上有次不動點”當且僅當“F（x）=f（x）+x在區間D上有零點”，依題意，存在x∈[1，4]，使F（x）=f（x）+x=ax2﹣2x﹣a+ =0，討論將a分離出來，利用導數研究出等式另一側函數的取值范圍即可求出a的范圍．