Question

某廠生產一種儀器，由于受生產能力和技術水平的限制，會產生一些次品．根據經驗知道，該廠生產這種儀器，次品率P與日產量x（件）之間大體滿足如下關系：p=

1 96-x ，(1≤x＜c) 2 3 ，(x＞c，x∈N)

（其中c為小于96的常數）注：次品率P=

次品數

生產量

，如P=0.1表示每生產10件產品，約有1件為次品，其余為合格品．
已知每生產一件合格的儀器可以盈利A元，但每生產一件次品將虧損

A

2

元，故廠方希望定出合適的日產量．
（Ⅰ）試將生產這種儀器每天的盈利額T（元）表示為日產量x（件）的函數；
（Ⅱ）當日產量為多少時，可獲得最大利潤？

Answer 1

分析：（Ⅰ）每天的贏利為T=日產量（x）×正品率（1-P）×盈利（A）-日產量（x）×次品率（P）×虧損（

A

2

），整理即可得到；
（Ⅱ）當x≤c＜96時，利用基本不等式可得x=84時，等號成立，故可分類討論得：當0＜c＜84時，x=84時，利潤最大；當84≤c＜96時，當x=c時，利潤最大．

解答：解：（Ⅰ）每天的贏利為T=日產量（x）×正品率（1-P）×盈利（A）-日產量（x）×次品率（P）×虧損（

A

2

），整理即可得到T=

Ax(1-p)- A 2 xp=Ax- 3A 2 • x 96-x ，(1≤x≤c，x∈N) Ax 3 - Ax 3 =0，(x＞c，x∈N)

（Ⅱ）當x≤c＜96時，T=A[x+

3

2

-

144

96-x

]=

3

2

A+A[96-(96-x)-

144

96-x

]≤

3

2

A+A(96-24)=

147

2

A
當且僅當x=84時，等號成立．
∴當0＜c＜84時，x=84時，Tmax=

147

2

A
當84≤c＜96時，當x=c時，Tmax=AC+

3

2

A-

144A

96-c

答：當84≤c＜96時，日產量為c時，利潤最大；當0＜c＜84時，日產量為84時，利潤最大．

點評：本題考查了利潤函數模型的應用，并且利用基本不等式求得函數的最值問題，也考查了分段函數的問題，是中檔題．