Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x+

π

2

)是偶函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①f（x）是周期函數(shù)；
②x=π是f（x）圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸；
③（-π，0）是f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心；
④當(dāng)x=

π

2

時(shí)，f（x）一定取最大值．
其中正確的結(jié)論的代號(hào)是（　�。�

• A、①③
• B、①④
• C、②③
• D、②④

Answer 1

分析：依據(jù)f(x+

π

2

)是偶函數(shù)，可知f（x+

π

2

）=f（-x+

π

2

）進(jìn)而推斷函數(shù)f（x）是以π為周期的函數(shù)．依據(jù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，可得f（x）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．依題意不能斷定函數(shù)一定有最值．最后斷定①③正確．

解答：解：∵f(x+

π

2

)是偶函數(shù)
∴f（x+

π

2

）=f（-x+

π

2

）=f（x-

π

2

）=f（x+

π

2

-π）
∴f（x）=f（x-π），即函數(shù)f（x）是以π為周期的函數(shù)．
∴①是正確的．
∵f（x）為定義在R上的奇函數(shù)
∴f（x）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
∵π為函數(shù)的周期，
∴f（x）亦關(guān)于（π，0），（-π，0）對(duì)稱(chēng)，
故②不正確，③正確．
∵函數(shù)f（x）不一定有最大值，故④不正確．
故選A

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的周期性．要利用好周期函數(shù)的奇偶性來(lái)判斷函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性．