Question

（2012•宜賓一模）設數列{a_n}（n∈N）滿足a₀=0，a₁=2，且對一切n∈N，有a_n+2=2a_n+1-a_n+2．
（I）求數列{a_n}的通項公式；
（II）當n∈N⁺時，令bn=

n+1

n+2

×

1

an

，S_n是數列{b_n}的前n項和，求證：

1

3

≤Sn＜

3

4

．

Answer 1

分析：（I）由a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n+2得，數列{a_n+1-a_n}為等差數列，且首項a₁=2，公差為2，由此能求出數列{a_n}的通項公式；
（II）確定數列的通項，利用裂項法求和，借助于單調性，即可得到結論．

解答：解：（I）由a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n+2可得：數列{a_n+1-a_n}為等差數列，且首項a₁-a₀=2-0=2，公差為2（3分）
∴a_n-a_n-1=（a₁-a₀）+2（n-1）=2+2（n-1）=2n（4分）
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=2+4+6+…+2n=

n(2+2n)

2

=n（n+1）（6分）
（II）由（I）可知：bn=

n+1

n+2

×

1

an

=-

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

）
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

2

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+2

）]=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）＜

3

4

（10分）
易知：S_n在n∈N^*時，單調遞增，
∴S_n≥S₁=

1

3

（11分）
∴

1

3

≤S_n＜

3

4

（12分）

點評：本題考查數列遞推式，考查疊加法的運用，考查數列求和，解題的關鍵是確定數列的通項，屬于中檔題．