Question

將邊長為1的正六邊形鐵皮的六個角各切去一個全等的四邊形，再沿虛線折起，做成一個無蓋的正六棱柱容器．當這個正六棱柱容器的底面邊長為

2

3

時，其容積最大．

Answer 1

分析：要求正六棱柱容器的容積最大，得需要得出容積表達式；由柱體的體積公式知，底面積是正六邊形，是六個全等小正△的和，高是Rt△中60°角所對的直角邊，由高和底面積得出容積函數，用求導法可以求出最大值時的自變量取值．

解答：解：如圖，設底面六邊形的邊長為x，高為d，則
d=

3

•

1

2

•(1-x)；
又底面六邊形的面積為：
S=6•

1

2

•x²•sin60°=

3

2

3

x2；
所以，這個正六棱柱容器的容積為：
V=Sd=

3

2

3

x2•

3

2

(1-x)=

9

4

(x2-x3)，
則對V求導，得
V′=

9

4

(2x-3x2)，令V′=0，得x=0或x=

2

3

，
當0＜x＜

2

3

時，V′＞0，V是增函數；當x＞

2

3

時，V′＜0，V是減函數；
∴x=

2

3

時，V有最大值．
故答案為：

2

3

．

點評：本題通過建立體積函數表達式，由求導的方法求函數最大值，是比較常用的解題思路，也是中學數學的重要內容．