Question

已知函數f(x)=sin

x

2

cos

x

2

+cos2

x

2

-2.
（Ⅰ）將函數f（x）化簡成Asin（ωx+φ）+B（A＞0，φ＞0，φ∈[0，2π））的形式，并指出f（x）的周期；
（Ⅱ）求函數f(x)在[π，

17π

12

]上的最大值和最小值

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據題意，f(x)=sin

x

2

cos

x

2

+cos2

x

2

-2.化簡為Asin（ωx+φ）+B的形式，然后求出f（x）的周期
（Ⅱ）根據題意，求出f(x)在[π，

17π

12

]上的單調區間，然后根據單調性的意義分別求出最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

1

2

sinx+

1+cosx

2

-2=

1

2

(sinx+cosx)-

3

2

=

2

2

sin(x+

π

4

)-

3

2

．
故f（x）的周期為2kπ{k∈Z且k≠0}．
（Ⅱ）由π≤x≤

17

12

π，得

5

4

π≤x+

π

4

≤

5

3

π．
因為f（x）=

2

2

sin(x+

π

4

)-

3

2

在[π，

5π

4

]上是減函數，
在[

5π

4

，

17π

12

]上是增函數．
故當x=

5π

4

時，f（x）有最小值-

3+ 2

2

；
而f（π）=-2，f（

17

12

π）=-

6+ 6

4

＜-2，
所以當x=π時，f（x）有最大值-2．

點評：本題考查Asin（ωx+φ）+B中參數的物理意義，以及三角函數的周期性，還有三角函數的最值．通過求f（x）在已知區間上的單調性來求最值．屬于基礎題．