Question

（2012•南寧模擬）設f（x）是定義在R上的偶函數，對任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），且當x∈[-2，0]時，f（x）=（

1

2

）^x-1，若在區間（-2，6]內關于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）恰有三個不同的實數根，則a的取值范圍為（　　）

• A．a＜2

  2

  3

  或a＞2
• B．2

  2

  3

  ＜a＜2
• C．a＜2
• D．a＞2

  2

  3

Answer 1

分析：先利用已知f（x）是定義在R上的偶函數求出在區間[0，2]上的解析式，再利用周期性f（x）=f（x+4）求出函數f（x）在區間[2，4]上的解析式，然后在畫出圖象，進而求出a的取值范圍．

解答：解：設x∈[0，2]，則-x∈[-2，0]，∴f（-x）=(

1

2

)-x-1=2^x-1，
∵f（x）是定義在R上的偶函數，∴f（x）=f（-x）=2^x-1．
∵對任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），
∴當x∈[2，4]時，（x-4）∈[-2，0]，∴f（x）=f（x-4）=(

1

2

)x-4-1；
及當x∈[4，6]時，（x-4）∈[0，2]，∴f（x）=f（x-4）=2^x-4-1．
∵若在區間（-2，6]內關于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）恰有三個不同的實數根，
∴函數y=f（x）與函數y=log_a（x+2）在區間（-2，6]上恰有三個交點，
通過畫圖可知：恰有三個交點的條件是

loga(6+2)＞3 loga(2+2)＜3

解得2

2

3

＜a＜2．
因此所求的a的取值范圍為2

2

3

＜a＜2．
故選B．

點評：本題綜合考查了函數的奇偶性、周期性、函數的交點及方程的根，熟練掌握函數的性質及數形結合是解決問題的關鍵．