Question

設數列的前項和為，已知，且

，

其中為常數.

(Ⅰ)求與的值；

(Ⅱ)證明：數列為等差數列；

(Ⅲ)證明：不等式對任何正整數都成立.

Answer 1

，.

解析:

解：（Ⅰ）由已知，得，，.

由，知

            即

解得    ，.

（Ⅱ）方法1

由（Ⅰ），得  ，             ①

所以         .           ②

②-①，得    ，    ③

所以         .   ④

④-③，得    .

因為         ，

所以         .

又因為       ，

所以         ，

即           ，.

所以數列為等差數列.

方法2

由已知，得，

又，且，

所以數列是唯一確定的，因而數列是唯一確定的.

設，則數列為等差數列，前項和.

于是   ，

由唯一性得   ，即數列為等差數列.

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，.

要證       ，

只要證     .

因為       ，，

故只要證   ，

即只要證   .

因為      

          

，

所以命題得證.