Question

(本小題滿分13分)為抗擊金融風暴，某工貿系統決定對所屬企業給予低息貸款的扶持，該系統先根據相關評分標準對各個企業進行了評估，并依據評估得分將這些企業分別評定為優秀、良好、合格、不合格4個等級，然后根據評估等級分配相應的低息貸款金額，其評估標準和貸款金額如下表：

評估得分	[50，60)	[60，70)	[70，80)	[80，90]
評定類型	不合格	合格	良好	優秀
貸款金額(萬元)	0	200	400	800

為了更好地掌控貸款總額，該系統隨機抽查了所屬部分企業的評估分數，得其頻率分布直方圖如下：

(1)估計該系統所屬企業評估得分的中位數及平均分；

(2)該系統要求各企業對照評分標準進行整改，若整改后優秀企業數量不變，不合格企業、合格企業、良好企業的數量依次成等差數列，系統所屬企業獲得貸款的均值(即數學期望)不低于410萬元，那么整改后不合格企業占企業總數的百分比的最大值是多少？

Answer 1

解：(1)因為0.015×10=0.15,  0.04×10=0.4,在頻率分布直方圖中,中位數左邊和右邊的面積相等,所以中位數在區間[60,70)內,

設中位數為x,則(60-50)×0.015+(x-60)×0.04=0.5,解得x=68.75

所以估計該系統所屬企業評估得分的中位數是68.75. ………………2分

平均分為:55×0.15+65×0.4+75×0.2+85×0.25=70.5分. ………………4分

(2)依題意,整改后優秀企業的頻率為10×0.025=0.25, ………………5分

不合格企業,合格企業,良好企業的頻率成等差數列,設該等差數列的首項為a,公差為d,則

………………7分

設該系統所屬企業獲得貸款的均值為,則

………………10分

由≥410，得450－400a≥410，即a≤0.1.          ………………12分

故整改后不合格企業占企業總數的百分比的最大值是10%.   ………………13分