Question

已知數列{a_n}的各項均為正數，且a₁=1，當n≥2時，都有a_n=a_n-1+2n-1，記…．
（Ⅰ）試求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）證明：T_n＜2；
（Ⅲ）令，B_n=b₁b₂…b_n，試比較與B_n的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）當n≥2時，利用a_n=a_n-1+2n-1，寫出a₂-a₁=2×2-1，a₃-a₂=2×3-1，…a_n-a_n-1=2×n-1
各式相加，可求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）先放縮，再裂項求和，即可證得結論；
（Ⅲ）先計算當n=1時，；當n=2時，；當n=3時，；
猜想當n≥3時，，再用數學歸納法證明．
解答：（Ⅰ）解：當n≥2時，∵a_n=a_n-1+2n-1，
∴a₂-a₁=2×2-1
a₃-a₂=2×3-1
…
a_n-a_n-1=2×n-1
各式相加得a_n-a₁=2（2+3+…+n）-（n-1），
∴a_n-a₁=2×
∴．
又當n=1時，a₁=1滿足上式，故．
（Ⅱ）證明：
=．
（Ⅲ）解：，，
當n=1時，；
當n=2時，；
當n=3時，；
猜想當n≥3時，．
以下用數學歸納法證明：
①當n=3時，左邊==右邊，命題成立．
②假設當n=k（k≥3）時，，即．
當n=k+1時，=，命題成立．
故當n≥3時，．
綜上所述，當n=1時，，
當n=2時，，
當n≥3時，．
點評：本題以數列遞推式為載體，考查數列的通項公式，考查不等式的證明，同時考查裂項法，數學歸納法的運用，先猜后證是關鍵．