Question

6．極坐標系的極點為直角坐標系xOy的原點，極軸為x軸的正半軸，兩種坐標系中的長度單位相同，已知曲線C₁的極坐標方程為ρ=2（cosθ+sinθ），曲線C₂的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=-sinα}\end{array}\right.$ （α為參數）．
（1）求曲線C₁，C₂的直角坐標方程；
（2）直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數）與曲線C₁交于A，B兩點，與y軸交于E，求|EA|+|EB|的值．

Answer 1

分析 （1）極坐標方程兩邊同乘ρ，再用極坐標和直角坐標互化方程組$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{tanθ=\frac{y}{x}}\end{array}\right.$轉化為x，y的關系式，即可．
（2）利用直線的參數方程中參數的幾何意義求解．將參數方程代入曲線C₁，得關于t的一元二次方程，再結合韋達定理求解|EA|+|EB|所表達出的韋達定理的結構式．因E在曲線C₁（圓）內，故|EA|+|EB|=|AB|，也可以直接轉化為直角坐標系下普通方程，求直線與圓的弦長|AB|．

解答 解：（1）曲線C₁的極坐標方程為ρ=2（cosθ+sinθ），
兩邊同乘乘ρ，得ρ²=2（ρcosθ+ρsinθ）
∵$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$  且 ρ²=x²+y²
∴曲線C₁的直角坐標方程為 x²+y²=2x+2y 即（x-1）²+（y-1）²=2   …2分
曲線C₂的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=-sinα}\end{array}\right.$ （α為參數）則$\left\{\begin{array}{l}{cosα=\frac{x}{2}}\\{sinα=-y}\end{array}\right.$ 
∵cos²α+sin²α=1
∴曲線C₂的直角坐標方程為 $\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$   …4分
（2）解法一：
直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數）與y軸交點為E（0，1）…5分
直線l與曲線C₁交于A，B兩點，由直線l參數t的意義
知|EA|+|EB|=|t_A|+|t_B|…6分
將直線l參數方程代入曲線C₁直角坐標方程
得：$（\frac{1}{2}t-1）^{2}+（1+\frac{\sqrt{3}}{2}t-1）^{2}=2$ 即 t²-t-1=0
∴t_A+t_B=1，t_At_B=-1   …8分
因為E（0，1）在曲線C₁內，
∴|EA|+|EB|=|t_A|+|t_B|=|t_A-t_B|
=$\sqrt{（{t}_{A}+{t}_{B}）^{2}-4{t}_{A}{t}_{B}}$
=$\sqrt{5}$．         …10分
解法二：直線l的普通方程為$y=\sqrt{3}x+1$    …5分
由（1）知曲線C₁是以（1，1）為圓心，以$\sqrt{2}$為半徑的圓．
因E在圓C₁內，∴|EA|+|EB|=|AB|…6分
又∵圓心（1，1）到直線l的距離d=$\frac{|\sqrt{3}-1+1|}{\sqrt{{\sqrt{3}}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$   …8分
∴|AB|=$2\sqrt{{\sqrt{2}}^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴|EA|+|EB|=$\sqrt{5}$．     …10分

點評 考查極坐標方程化直角坐標方程，參數方程化普通方程，直線參數方程的意義．考查方程思想．屬于中檔題．