Question

已知n是不小于3的正整數，，．
（1）求a_n，b_n；
（2）設，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于a_n，b_n是以和式出現，而且與組合數有關，借助于kC_n^k=nC_n-1^k-1，可進行轉化，從而求出數列的通項公式；
（2）由（1）知，∴，從而利用裂項求和法求和，故可證．
解答：解：（1），
因為kC_n^k=nC_n-1^k-1，所以a_n=nC_n-1+nC_n-1¹+…+nC_n-1^n-1=n（C_n-1+C_n-1¹+…+C_n-1^n-1）=n•2^n-1．…3分
因為k²C_n^k=k•kC_n^k=k•nC_n-1^k-1，而kC_n-1^k-1=（k-1）C_n-1^k-1+C_n-1^k-1=（n-1）C_n-2^k-2+C_n-1^k-1（k≥2），
所以，
=n（n-1）•2^n-2+n•2^n-1=n（n+1）•2^n-2．
（2），
所以．
點評：本題主要考查數列通項的求解及裂項求和法，同時考查了組合數的性質，有一定的綜合性．