Question

某商品每件成本9元，售價30元，每星期賣出432件．如果降低價格．銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數與商品單價的降低銷x（單位：元，0≤x≤30）的平方成正比．已知商品單價降低2元時，一星期多賣出24件．
（Ⅰ）將一個星期的商品銷售利潤表示成x的函數；
（Ⅱ）如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先設商品降價x元，寫出多賣的商品數，則可計算出商品在一個星期的獲利數，再依題意：“商品單價降低2元時，一星期多賣出24件”求出比例系數即可得一個星期的商品銷售利潤表示成x的函數；
（Ⅱ）根據（Ⅰ）中得到的函數，利用導數研究其極值，從而救是f（x）達到極大值．從而得出所以定價為多少元時，能使一個星期的商品銷售利潤最大．
解答：解：（Ⅰ）設商品降價x元，則多賣的商品數為kx²，若記商品在一個星期的獲利為f（x），
則依題意有f（x）=（30-x-9）（432+kx²）=（21-x）（432+kx²），
又由已知條件，24=k•2²，于是有k=6，
所以f（x）=-6x³+126x²-432x+9072，x∈[0，30]．
（Ⅱ）根據（Ⅰ），我們有f'（x）=-18x²+252x-432=-18（x-2）（x-12）．

∴當x=12時，f（x）達到極大值．
因為f（0）=9072，f（12）=11264，
所以定價為30-12=18元能使一個星期的商品銷售利潤最大．
點評：本小題主要考查根據實際問題建立數學模型，以及運用函數、導數的知識解決實際問題的能力．利用導數求函數的最值是解決本題的關鍵．