Question

某商品每件成本9元，售價為30元，每星期賣出432件．如果降低價格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數與商品單價的降低值x（單位：元，0≤x≤21）的平方成正比．已知商品售價降低2元時，一星期多賣出24件．
（Ⅰ）將一個星期內該商品的銷售利潤表示成x的函數；
（Ⅱ）如何定價才能使一個星期該商品的銷售利潤最大？

Answer 1

分析：（Ⅰ）設商品降價x元，根據每星期多賣出的商品件數與商品單價的降低值x（單位：元，0≤x≤21）的平方成正比，求出比例系數，得到每星期多賣的商品數，再根據銷售利潤=銷售收入-成本，列出函數關系式，即可得到答案；
（Ⅱ）根據f（x）的解析式，判斷出用導數求最值，即求出f'（x）=0的根，比較根的函數值與區間端點的函數值的大小，即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）設商品降價x元，記商品在一個星期的獲利為f（x），
∵每星期多賣出的商品件數與商品單價的降低值x（單位：元，0≤x≤21）的平方成正比，
∴每個星期多賣的商品數為kx²，
∵商品售價降低2元時，一星期多賣出24件，則24=k•2²，
∴k=6，
∴每個星期多賣的商品數為6x²，
∴f（x）=（30-x-9）（432+6x²）=-6x³+126x²-432x+9072，x∈[0，21]；
（Ⅱ）根據（1），則f'（x）=-18x²+252x-432=-18（x-2）（x-12），
令f'（x）=0，解得x=2或x=12，
∵f（0）=9072，f（2）=8664，f（12）=11664，f（21）=0，
∴當x=12時，f（x）取得最大值11664，
所以定價為18元才能使一個星期該商品的銷售利潤最大．

點評：本題主要考查了根據實際問題建立數學模型，以及運用函數、導數的知識解決實際問題的能力．利用導數求函數的最值是解決本題的關鍵．屬于中檔題．