Question

一動點P從邊長為1的正方形ABCD的一個頂點A出發，沿著正方形的邊界ABCD運動一周最后回到點A，若點P運動的路程為x，點P到點A的距離為y，求y與x的函數關系式，并指出函數的定義域和值域．

Answer 1

分析：根據題意設出點P運動的路程x與點P到點A的距離y的函數關系式，然后對x從0到4時分別進行分析，并寫出分段函數，最后求出定義域與值域．

解答：解：設動點P按A-B-C-D-A的順序沿正方形的邊界運動一周，則
當0≤x＜1時，y=x，
當1≤x＜2時，y=

(x-1)2+1

，
當2≤x＜3時，y=

(3-x)2+1

，
當3≤x≤4時，y=4-x
∴所求函數關系式是
y=

x，(0≤x＜1) (x-1)2+1 ，(1≤x＜2) (3-x)2+1 ，(2≤x＜3) 4-x，(3≤x＜4)

，
函數的定義域為[0，4]，
值域為[0，

2

]．

點評：本題考查函數模型的選擇與應用，通過對實際問題的分析，構造數學模型從而解決問題．本題需要構建一個點P運動的路程x與點P到點A的距離y的函數關系式．并注明取值范圍．需要對知識熟練的掌握并應用，屬于基礎題．