Question

設△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足(2a+c)

BC

•

BA

+c

CA

•

CB

=0．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=2

3

，試求

AB

•

CB

的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題目中所給的向量的數(shù)量積寫出數(shù)量積的公式，得到關于三角形邊和角的等式關系，根據(jù)正弦定理把變化為角，逆用兩角和的正弦公式，得到角B的余弦值，根據(jù)角的范圍寫出角．
（2）本題要求向量的數(shù)量積的最值，而這兩個向量的夾角是上一問求出的B，在表示向量數(shù)量積時，只有兩邊之積是一個變量，因此要表示出兩邊之積，根據(jù)余弦定理和基本不等式得到ac的范圍，得到結果．

解答：解：（Ⅰ）∵(2a+c)

BC

•

BA

+c

CA

•

CB

=0，
∴（2a+c）accosB+cabcosC=0，
即（2a+c）cosB+bcosC=0，
則（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=0
∴2sinAcosB+sin（C+B）=0，
即cosB=-

1

2

，
B是三角形的一個內(nèi)角，
∴B=

2π

3

（Ⅱ）∵b2=a2+c2-2accos

2π

3

，
∴12=a²+c²+ac≥3ac，即ac≤4
∴

AB

•

CB

=accos

2π

3

=-

1

2

ac≥-2，
即

AB

•

CB

的最小值為-2

點評：本題是一個三角函數(shù)同向量結合的問題，是以向量的數(shù)量積為條件，得到三角函數(shù)的關系式，在高考時可以以解答題形式出現(xiàn)，本題又牽扯到解三角形，是一個綜合題．