Question

在平面直角坐標系xOy中，設不等式組

-1≤x≤2 0≤y≤2

所表示的平面區域是W，從區域W中隨機取點M（x，y）．
（Ⅰ）若x，y∈Z，求點M位于第一象限的概率；
（Ⅱ）若x，y∈R，求|OM|≤2的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）①做出所示平面區域②畫網格描整點，找出整數點坐標個數，再找出第一象限中的點個數．二者做除法即可算出概率（Ⅱ）這是一個幾何概率模型．算出圖中以（0，0）圓心2為半徑的圓的陰影面積，再除以平面區域矩形ABCD面積，即可求出概率．

解答：解：（Ⅰ）若x，y∈Z，則點M的個數共有12個，列舉如下：
（-1，0），（-1，1），（-1，2），（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2）．
當點M的坐標為（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）時，點M位于第一象限，故點M位于第一象限的概率為

1

3

．
（Ⅱ）這是一個幾何概率模型．
如圖，若x，y∈R，則區域W的面積是3×2=6．
滿足|OM|≤2的點M構成的區域為{（x，y）|-1≤x≤2，0≤y≤2，x²+y²≤4}，即圖中的陰影部分，易知E(-1，

3

)，∠EOA=60°，
所以扇形BOE的面積是

4π

3

，△EAO的面積是

3

2

，
故|OM|≤2的概率為

4π 3 + 3 2

6

=

8π+3 3

36

點評：本題考查幾何概率問題和簡單線性規劃問題．