Question

設(shè)P是雙曲線右分支上任意一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為左、右焦點(diǎn)，設(shè)∠PF₁F₂=α，∠PF₂F₁=β（如圖），求證．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)出內(nèi)切圓的圓心及它與x 軸的切點(diǎn)N，半徑為r，則M與N有相同的橫坐標(biāo)，由雙曲線的定義及切線長定理得到N到2個焦點(diǎn)的距離，計(jì)算2個半角的正切值，等式得到證明．
解答：解：P是雙曲線右分支上任意一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為左、右焦點(diǎn)，
∴a=2，b=2，c=4，F(xiàn)₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0），
設(shè)△PF₁F₂的內(nèi)切圓圓心為M，內(nèi)切圓與x 軸的切點(diǎn)為N，半徑為r，則M與N有相同的橫坐標(biāo)，
由雙曲線的定義|pF₁|-|PF₂|=4，及切線長定理得，|NF₁|-|NF₂|=4，
又|NF₁|+|NF₂|=2c=8，∴|NF₁|=6，|NF₂|=2，
則tan==，tan==，
∴．
點(diǎn)評：本題考查雙曲線的綜合應(yīng)用．