Question

設P是雙曲線

x2

4

-

y2

12

=1右分支上任意一點，F₁，F₂分別為左、右焦點，設∠PF₁F₂=α，∠PF₂F₁=β（如圖），求證3tan

α

2

=tan

β

2

．

Answer 1

分析：設出內切圓的圓心及它與x 軸的切點N，半徑為r，則M與N有相同的橫坐標，由雙曲線的定義及切線長定理得到N到2個焦點的距離，計算2個半角的正切值，等式得到證明．

解答：解：P是雙曲線

x2

4

-

y2

12

=1右分支上任意一點，F₁，F₂分別為左、右焦點，
∴a=2，b=2

3

，c=4，F₁（-4，0），F₂（4，0），
設△PF₁F₂的內切圓圓心為M，內切圓與x 軸的切點為N，半徑為r，則M與N有相同的橫坐標，
由雙曲線的定義|pF₁|-|PF₂|=4，及切線長定理得，|NF₁|-|NF₂|=4，
又|NF₁|+|NF₂|=2c=8，∴|NF₁|=6，|NF₂|=2，
則tan

α

2

=

r

|NF1|

=

r

6

，tan

β

2

=

r

|NF2|

=

r

2

，
∴3tan

α

2

=tan

β

2

．

點評：本題考查雙曲線的綜合應用．