Question

如圖，在平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是矩形，AB=2，AD=1，頂點D₁在底面ABCD上的射影O是CD的中點，側棱與底面所成的角為60°．
（I）求證：BO⊥平面D₁AO；
（II）求點O到平面AA₁D₁D的距離；
（III）求二面角C-AD₁-O的大小．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中，頂點D₁在底面ABCD上的射影O是CD的中點，我們根據線面垂直的性質，易得OD₁⊥OB，又及等腰三角形三線合一的性質，可得OB⊥OA，進而由線面垂直的性質得到BO⊥平面D₁AO；
（II）由O到平面ADD₁A₁的距離（I）中結論D₁O⊥平面ABCD，可得D₁O⊥AD，結合AD⊥DO，由線面垂直及面面垂直的判定定理可得平面D₁DO⊥平面ADD₁A₁，則平面D₁OD內，作OH⊥DD₁，垂足為H，則OH即為點O到平面ADD₁A₁的距離，解Rt△ODH，即可得到點O到平面AA₁D₁D的距離；
（III）作CM⊥AO于M，作MN⊥AD₁于N，連接CN，可證得∠CNM為二面角C-AD₁-O的平面角，解Rt△CMN即可求出二面角C-AD₁-O的大小．
解答：證明：（I）∵D₁在平面ABCD上的射影為O，
∴OD₁⊥平面ABCD，
∴OD₁⊥OB…（2分）
∵點O為DC的中點，DC=2，
∴OC=1，
又∵BC=1，∠DCB=90°，
∴OB⊥OA…（4分）
∵D₁O∩AO=O，
∴OB⊥平面D₁AO…（5分）
解：（II）∵D₁O⊥平面ABCD，
∴D₁O⊥AD
又∵AD⊥DO，∴AD⊥平面D₁DC
AD?平面ADD₁A₁，
∴平面D₁DO⊥平面ADD₁A₁
在平面D₁OD內，作OH⊥DD₁，垂足為H，則OH⊥平面ADD₁A₁．
∴線段OH的長為點O到平面ADD₁A₁的距離…（7分）
∵D₁O⊥平面ABCD，∴DD₁在平面ABCD上的射影為DO．
∴∠D₁DO為側棱DD₁與平面ABCD所成的角．
∴∠D₁DO=60°…（9分）
在Rt△ODH中，OH=ODsin60°=．
即：點O到平面ADD₁A₁的距離為…（10分）
（III）如圖，作CM⊥AO于M，作MN⊥AD₁于N，連接CN
∵D₁O⊥平面ABCD，∴D₁O⊥MC
又∵MC⊥AO，∴MC⊥平面AOD₁
又∵MN⊥AD₁，AD₁?平面AOD₁，∴CN⊥AD₁∴∠CNM為二面角C-AD₁-O的平面角，…（13分）
在Rt△OCM中，OC=1，∠MOC=45°，∴．
在△ACD₁中，CD₁=2，，
取D₁C的中點E，連接AE，則AE⊥D₁C，∴AE=2∴，∴
在Rt△CMN中，∴．
二面角C-AD₁-O的大小為．…（16分）
點評：本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，點到平面間的距離，線面垂直的判定，由于已知中ABCD-A₁B₁C₁D₁為平行六面體不是長方體，很難建立適當的空間坐標系，利用向量法求解，而且已知中垂直的條件比較小，故要想辦法多根據已知條件創造出垂直的結論，故本題難度較大．