Question

已知函數f（x）是定義在[-2，2]上的奇函數，當x∈[-2，0）時，（t為常數）．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）當t∈[2，6]時，求f（x）在[-2，0]上的最小值，及取得最小值時的x，并猜想f（x）在[0，2]上的單調遞增區間（不必證明）；
（3）當t≥9時，證明：函數y=f（x）的圖象上至少有一個點落在直線y=14上．

Answer 1

解：（1）x∈（0，2]時，-x∈[-2，0），則，
∵函數f（x）是定義在[-2，2]上的奇函數，即f（-x）=-f（x），
∴，即，又可知f（0）=0，
∴函數f（x）的解析式為，x∈[-2，2]；
（2），∵t∈[2，6]，x∈[-2，0]，∴，f（x）＜0
∵，∴，
即時，．
猜想f（x）在[0，2]上的單調遞增區間為．
（3）t≥9時，任取-2≤x₁＜x₂≤2，
∵，
∴f（x）在[-2，2]上單調遞增，即f（x）∈[f（-2），f（2）]，
即f（x）∈[4-2t，2t-4]，t≥9，∴4-2t≤-14，2t-4≥14，
∴14∈[4-2t，2t-4]，∴當t≥9時，函數y=f（x）的圖象上至少有一個點落在直線y=14上．
分析：（1）設x∈（0，2]?-x∈[-2，0）?，由f（x）為奇函數可得f（-x）=-f（x），代入可求f（x）x∈（0，2]；
由奇函數的性質可知f（0）=0，從而可得f（x） x∈[-2，2]
（2）由知＜0，x∈[-2，0]，t∈[2，6]
利用平均值不等式可得，（當時取等號）
（3）利用單調性的定義（或導數法）判斷函數在[-2，2]上單調性，從而確定函數的值域，然后證明14在值域內即可
點評：本題綜合考查函數的解析式的求解、利用均值不等式求函數的最值、及利用定義或導數法判斷函數的單調性，在利用均值不等式求最值時，要注意驗證各項的符號及等號成立的條件．