Question

已知數列A_n：a₁，a₂，…，a_n，如果數列B_n：b₁，b₂，…，b_n滿足b₁=a_n，b_k-1+b_k=a_k-1+a_k（2≤k≤n），則稱A_n的衍生數列是B_n．
（1）若A₂₀₁₃的衍生數列是B₂₀₁₃：1，2，…，2013，寫出a₁的值（不必給出過程）；
（2）若A₄是公比q≠1的等比數列，其衍生數列B₄也是等比數列，求q的值；
（3）設n（n≥3）是奇數，A_n，B_n，C_n滿足后者是前者的衍生數列，a_k，b_k，c_k分別是A_n，B_n，C_n中的第k項（1≤k≤n），求證：a_k，b_k，c_k成等差數列．

Answer 1

分析：（1）利用b₁=a₂₀₁₃=1，b_k-1+b_k=a_k-1+a_k（2≤k≤n），尋找規律，可得結論；
（2）利用題意，寫出A₄、B₄，結合等比數列，即可求q的值；
（3）由b_k-1+b_k=a_k-1+a_k⇒b_k-a_k=-（b_k-1-a_k-1）同理c_k-b_k=-（c_k-1-b_k-1），所以問題等價于證明a₁，b₁，c₁成等差數列，即可證得結論．

解答：（1）解：由已知，b₁=a₂₀₁₃=1，b_k-1+b_k=a_k-1+a_k（2≤k≤n），
∴a₂₀₁₂=b₂₀₁₂+b₂₀₁₃-a₂₀₁₃=2012+2013-1=4024，a₂₀₁₁=b₂₀₁₁+b₂₀₁₂-a₂₀₁₂=2011+2012-4024=-1，a₂₀₁₀=b₂₀₁₀+b₂₀₁₁-a₂₀₁₁=2010+2011+1=4022，a₂₀₀₉=b₂₀₀₉+b₂₀₁₀-a₂₀₁₀=2009+2010-4022=-3，…，
∴a₁=-2011-…（3分）
（2）解：設A4：a，aq，aq2，aq3，則B4：aq3，a(-q3+q+1)，a(q3+q2-1)，a
則

q3+q2-1=q -q3+q+1=q2 q≠1

⇒q=-1…（8分）
（3）證明：由b_k-1+b_k=a_k-1+a_k⇒b_k-a_k=-（b_k-1-a_k-1）
同理c_k-b_k=-（c_k-1-b_k-1），所以問題等價于證明a₁，b₁，c₁成等差數列，
由題意b₁=a₁，b₁+b₂=a₁+a₂，b₂+b₃=a₂+a₃，…，b_n-1+b_n=a_n-1+a_n
將上面第2，4，6，…，n-1個等式兩邊同乘以-1，
則b₁=a_n，-（b₁+b₂）=-（a₁+a₂），b₂+b₃=a₂+a₃，…，-（b_n-2+b_n-1）=-（a_n-2+a_n-1），（b_n-1+b_n）=a_n-1+a_n
以上n的等式相加得b_n=a_n-a₁+a_n=2a_n-a₁，
因為b₁=a_n，c₁=b_n，所以c₁=2b₁-a₁，即c₁+a₁=2b₁，
所以a₁，b₁，c₁成等差數列，
從而a_k，b_k，c_k成等差數列．                                    …（16分）

點評：本題考查數列的綜合應用，考查新定義，考查學生分析解決問題的能力，難度較大．