Question

（2003•崇文區(qū)一模）給定直線l：y=x和點(diǎn)P₁（5，1）．作點(diǎn)P₁關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)Q₁，過Q₁作平行于x軸的直線交l于點(diǎn)M₁，取一點(diǎn)P₂（x₂，y₂），使M₁為線段Q₁P₂的內(nèi)分點(diǎn)，且Q₁M₁：M₁P₂=2：1，再作P₂關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)Q₂，過Q₂作平行于x軸的直線交l于點(diǎn)M₂，取一點(diǎn)P₃（x₃，y₃），使M₂為線段Q₂P₃的內(nèi)分點(diǎn)，且Q₂M₂：M₂P₃=2：1．如此繼續(xù)，得到點(diǎn)列P₁、P₂、P₃、…P_n．設(shè)P_n（x_n，y_n），a_n=x_n+1-x_n．
（Ⅰ）求a₁；
（Ⅱ）證明：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列并求其通項(xiàng)；
（Ⅲ）求P_n點(diǎn)的坐標(biāo)，并求_n→∞^limx_n及_n→∞^limy_n的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過點(diǎn)的坐標(biāo)利用Q₁M₁：M₁P₂=2：1，即可求a₁；
（Ⅱ）利用題設(shè)條件，λ=

Qn+1Mn+1

Mn+1Pn+2

=2轉(zhuǎn)化為xn+2-xn+1=

1

2

(xn+1-xn)，即可證明：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列并求其通項(xiàng)；
（Ⅲ）利用累加法直接求P_n點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用極限的運(yùn)算法則直接求

lim

n→∞

x_n及

lim

n→∞

y_n的值．

解答：本小題滿分（16分）．
解：（I）由條件知：Q₁（1，5），M₁（5，5），P₂（x₂，5），
∵λ=

Q1M1

M1P2

=2，
∴5=

1+2x2

1+2

，∴x₂=7，又x₁=5，
∴a₁=x₂-x₁=7-5=2．…（2分）
（II）證明：設(shè)P_n+1（x_n+1，y_n+1），則Q_n+1（y_n+1，x_n+1），M_n+1（x_n+1，x_n+1）．
∵λ=

Qn+1Mn+1

Mn+1Pn+2

=2，…（4分）
設(shè)P_n+2（x_n+2，y_n+2），
∴xn+1=

yn+1+2xn+2

3

(*)…（6分）
∵點(diǎn)P_n+1的縱坐標(biāo)y_n+1與點(diǎn)Q_n、M_n的縱坐標(biāo)相同，
故y_n+1=x_n代入（*）化簡，得2x_n+2-3x_n+1+x_n=0，
即xn+2-xn+1=

1

2

(xn+1-xn)．
∴數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列．
∴an=2•(

1

2

)n-1(n∈N)．…（9分）
（III）解：∵an=xn+1-xn=2•(

1

2

)n-1(n∈N)，
因此有：x2-x1=2•(

1

2

)0，
x3-x2=2•(

1

2

)1
…
xn-xn-1=2•(

1

2

)n-2
將以上n-1個(gè)等式相加，得
xn-x1=2[(

1

2

)0+(

1

2

)1+…+(

1

2

)n-2]=2•

1-( 1 2 )n-1

1- 1 2

=4-4•(

1

2

)n-1．…（12分）
∴xn=9-(

1

2

)n-3，yn=xn-1=9-(

1

2

)n-4．
∴Pn(9-(

1

2

)n-3，9-(

1

2

)n-4)．…（14分）

lim

n→∞

Xn=

lim

n→∞

[9-(

1

2

)n-3]=9，

lim

n→∞

yn=

lim

n→∞

[9-(

1

2

)n-4]=9…16分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，數(shù)列是等比數(shù)列的判斷，通項(xiàng)公式的求法，數(shù)列的極限的求法，考查分析問題解決問題的能力．