Question

已知三次函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）為R上奇函數，且在x=處取得極值-．記函數圖象為曲線C．
（Ⅰ）求函數f（x）的表達式；
（Ⅱ）設曲線C與其在點P₁（1，f（1））處的切線交于另一點P₂（x₂，f（x₂）），線段P₁P₂與曲線C所圍成封閉圖形的面積記為S₁，求S₁的值；
（Ⅲ） 在（Ⅱ）的條件下，設曲線C與其在點P₂處的切線交于另一點P₃（x₃，f（x₃）），線段P₂P₃與曲線C所圍成封閉圖形的面積記為S₂，…，按此方法依次做下去，即設曲線C與其在點P_n（x_n，f（x_n））處的切線交于另一點P_n+1（x_n+1，f（x_n+1）），線段P_nP_n+1與曲線C所圍成封閉圖形的面積記為S_n，試求S_n關于n的表達式．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用奇函數的特點，采用特殊值代入法即可解得b=d=0，再利用函數極值的特點，列方程組即可解得a、c的值，從而確定函數的解析式；
（II）先利用導數的幾何意義，計算曲線C與其在點P₁（1，f（1））處的切線方程，再利用定積分的幾何意義，通過求定積分計算線段P₁P₂與曲線C所圍成封閉圖形的面積
（III）先利用導數的幾何意義，計算曲線C與其在點P_n（x_n，f（x_n））處的切線方程，再利用定積分的幾何意義，通過求定積分計算線段P_nP_n+1與曲線C所圍成封閉圖形的面積S_n，發現數列{S_n}為等比數列，從而利用等比數列的通項公式計算S_n關于n的表達式即可
解答：解：（Ⅰ）∵三次函數為R上奇函數，∴f（0）=0，f（-1）=-f（1）
即d=0且-a+b-c=-a-b-c
∴b=d=0
即f（x）=ax³+cx，f′（x）=3ax²+c，又f（x）=ax³+cx在x=處取得極值-，
∴即
得a=1，c=-1，∴f（x）=x³-x
（Ⅱ）∵f′（x）=3x²-1，f（1）=0，f′（1）=2，
∴曲線C在點P₁處的切線方程為y=2（x-1）
由解得x₁=1，x₂=-2，
∴S₁=||=|（）|=
（Ⅲ）f（x）在P_n（x_n，f（x_n））的切線：
y-（-x_n）=（3-1）（x-x_n）即y=（3-1）x-2
由解得x=x_n或x=-2x_n，
∴P_n+1（-2x_n，f（-2x_n）），x_n+1=-2x_n，
S_n=|x³-x-[（3-1）x-2]dx|=|（）|=
同理得S_n+1=，又x_n+1=-2x_n≠0，∴==16，又S₁=
∴S_n=•16^n-1=•16ⁿ  n∈N^*．
點評：本題綜合考查了函數的性質，導數的幾何意義，導數在函數極值中的應用，定積分的幾何意義及其運算，函數與數列的綜合運用，等比數列的通項公式等知識，綜合性較強，難度較大