Question

已知二次函數f（x）=x²+bx+c滿足：f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在區間[0，2]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）根據f（0）=1，用待定系數法求得b=-1，即得函數的解析式．
（2）由f(x)=x2-x+1=(x-

1

2

)2+

3

4

，可得f（x）在[0，

1

2

]上是減函數，在[

1

2

，2]上是增函數，由此求得
函數f（x）在[0，2]上的最值．

解答：解：（1）∵f（0）=1，∴c=1，…（1分）
∴f（x）=x²+bx+1．
∴f（x+1）-f（x）=（x+1）²+b（x+1）+1-x²-bx-1=2x+b+1=2x…（4分）
∴b=-1，
∴f（x）=x²-x+1．…（6分）
（2）f(x)=x2-x+1=(x-

1

2

)2+

3

4

，…（8分）
∵x∈[0，2]，f（2）=3，
∴f（x）在[0，

1

2

]上是減函數，在[

1

2

，2]上是增函數．
又＞f（0）=1，…（10分）
∴f(x)max=f(2)=3，f(x)min=f(

1

2

)=

3

4

．   …（12分）

點評：本題主要考查求二次函數在閉區間上的最值的方法，用待定系數法求函數的解析式，屬于中檔題．