Question

（本小題滿分14分）如圖，正方體的棱長為2，E為AB的中點．(Ⅰ)求證：(Ⅱ)求異面直線BD₁與CE所成角的余弦值；（Ⅲ）求點B到平面的距離.

Answer 1

(Ⅰ)  見解析  (Ⅱ)   （Ⅲ）

解析:

法一：（1）連接BD，由已知有   

  得…………1分

又由ABCD是正方形，得：……2分      ∵與相交，∴……3分

（2）延長DC至G，使CG=EB，,連結BG、D₁G ，∵CG∥EB ，∴四邊形EBGC是平行四邊形.                                 

∴BG∥EC.   ∴就是異面直線BD₁與CE所成角…………………………5分

在中，    …………………6分

 

異面直線 與CE所成角的余弦值是 ………8分

（3）∵    ∴   又∵     ∴ 點E到的距離，有：    ，…………11分

 又由  ，  設點B到平面的距離為，

則 ， 有，， 所以點B到平面的距離為…14分

解法二：（1）見解法一…3分

（2）以D為原點，DA、DC、為軸建立空間直角坐標系，則有B（2，2，0）、（0，0，2）、E（2，1，0）、C（0，2，0）、（2，0，2）∴（-2，-2，2），（2，-1，0）………5分

……7分即余弦值是   8分

（3）設平面的法向量為， 有：，，…8分

由：（0，1，-2），（2，-1，0）………9分

可得：，令，得  ………11分

由（0，1，0）有：點B到平面的距離為…14分